Е-РЕЙТИНГ:F1
RSPORT Bвepx Народный рейтинг СОДЕРЖАНИЕ ГОЛОСОВАНИЯ WWRR БИБЛИОТЕКА

Сухую статистику надо НЕ мочить, ее надо РАЗМАЧИВАТЬ, можно с пивом ...

25.03.2004

Олимпиады
Теннис
Хоккей
Шахматы

RSPORT
Bвepx

ФОТОАЛЬБОМ

Гостевая

Форум

Голосования

Другое изложение того же е-рейтинга для шахматистов, для них попроще

Е-рейтинг - это приближение нулевого времени цепей Маркова. Совсем другая последовательная модель - Народный рейтинг (P-rating)

Е-Рейтинг. Формула 1

«При решении частных вопросов надо сначала решить общую проблему иначе при их (частных вопросов) решении мы будем постоянно натыкаться на нерешенную общую проблему» В.Ульянов (Ленин). Полн. Собр. Соч. т.27 стр 314 Изд. «Правда» Москва 1974 г.

 

В эпиграфе и цитата не точная и ссылка неверная. Но это не меняет сути дела. Проблема ранжирования в спорте вообще и в гонках Формулы 1 остается не решенной, хотя совершенно очевидно, что адекватная модель ранжирования также необходима современному спорту как и хорошее оснащение, экипировка и оборудование. Просто усовершенствование последних представляется всем вполне естественным делом, а проблемы ранжирования кажутся простыми и давным-давно решенными.

Дело заключается в изначальном подходе к спортивному ранжированию. Огромное большинство действующих лиц в спорте полагает, что если правила соревнований заранее оговорены и известны их участникам, то независимо от их обоснованности они справедливы и «обжалованию» не подлежат.

Если исходить из этого постулата, то мы неизбежно должны согласиться с тем, что результаты соревнований тесно связаны с системами подведения итогов. Таким образом результат соревнования напрямую зависит от системы ранжирования. Например чемпионате Формулы 1 сейчас мы имеем такую систему начисления очков. 10 очков дает участнику первое место. 8 второе 6 – третье и далее минус одно очко за каждое следующее место до 8-го. У каждого непредубежденного исследователя этой проблемы возникает вопросы: почему шкала оценок не линейная? Почему разница между первым и вторым местом и вторым и третьим два очка, а не одно? Почему учитываются результаты только 8-и участников? И т.д. и т.п.

Наконец понятно, что если изменить систему зачета изменится (по крайней мере может изменится) сам порядок участников. А поскольку таких систем оценок может быть много, то и результаты соревнований получаются неоднозначными.

С другой стороны, представьте себе, что в одной из гонок не участвует лидер (например М.Шумахер) Совершенно очевидно, что при этом занять первое место будет легче. И тогда получается, что за не одинаковую трудность участники получают одинаковую оценку. А это уже нарушение «принципа спортивной справедливости», который заключается в равенстве условий для всех участников. Иначе исчезает сам смысл проведения соревнований.

Общие требования к системе любой ранжирования, вероятно, следует сформулировать так

  1. Все участники имеют равные возможности для достижения результата.
  2. Лучший результат должен оцениваться более высокой оценкой.
  3. Все результаты участников должны быть оценены системой ранжирования.
  4. Система не должна поощрять формирование «групп» участников для достижения результата одного.
  5. Результат любого соревнования должен влиять на общий итог соревнования. (Не должно быть «не значимых» событий (матчей, гонок, партий и т.д.)

Это не исчерпывающий список требований. В различных видах спорта возникают дополнительные требования, которые не входят в противоречие перечисленных а лишь расширяют область применения.

Зачет в Формуле 1

Формула 1 позволяет на своем примере разобрать ситуацию в соревнованиях с общим стартом. При этом мы рассматриваем не одну финальную гонку, а гонку с классификацией как одно событие.

Итак, по результатам гонки мы имеем несколько исходов.

  1. Пилот закончил гонку на определенном месте
  2. Пилот не закончил гонку, проехав некоторое количество кругов
  3. Пилот не вышел на финальную гонку
  4. Пилот занял в классификации определенное место
  5. Пилот не завершил классификацию
  6. Пилот не участвовал в классификации по своему решению
  7. Пилот не включен в список участников классификации

 

Наверное по результатам гонки всех участников чемпионата и необходимо ранжировать в соответствии с перечисленными исходами. Таким образом ВСЕ участники чемпионата при после очередного этапа получают место в “этапном” ранжировании.

Следующая стадия подведения итогов – оценка «этапного» ранжирования

Здесь пока остановился для ответов на отклики в форуме... :)Дальше пока футбольный пример...

Рассмотрим, какие же “экспериментальные” данные мы имеем для того, чтобы расставить команды по местам в каком либо турнире. Например, в чемпионате России по футболу. Мы имеем набор парных сравнений -–результатов матчей, в которых каждому сопернику было дано определение – “лучший”, “худший” или “равный”, в зависимости от победы, поражения или ничьей.

Из здравого смысла вытекает, что все эти определения носят исключительно относительный (релятивистский) характер. То есть они имеют значение только по отношению к данному сопернику и, следовательно, для правильной оценки соотношения сил их нельзя складывать или вычитать, так как они имеют разную размерность. Примерно так же, как если бы мы стали складывать “быки и коровы, столбы и заборы”, т.е. сваливать в кучу совершенно разнородные предметы.

Для всех команд их положение в воображаемой табели о рангах (пока мы еще не знаем какой) определяется равновесием двух сил. Одна, определяемая победами, “тянет” вверх. Вторая, определяемая поражениями, тянет вниз. Для упрощения картины оставим пока ничьи. Свойство данной табели о рангах таково, что команда, победившая во всех матчах, обязательно будет первой. Команда, проигравшая всем, обязательно будет последней.

Таких уравнений будет ровно столько, сколько команд. Понятно, что в итоге мы получим 0=0, если распишем все уравнения. Одно надо вычеркнуть и заменить на нормировку. Например сумма всех весовых коэффициентов равна числу команд, умноженному на 1000.

Сила, которая “тянет” команду вверх, определяется ее победами. Наиболее простой способ определить эту силу математически – это сложить все  победы команды.
Однако, поскольку, как мы говорили выше,   просто   складывать   нельзя, то складывать будем с “весами”.
В качестве “весовых коэффициентов” возьмем некоторые,
неопределенные пока величины, которые будут зависеть от команды соперника. Итак, мы получим следующее выражение для силы,  которая “тянет” данную команду D   “вверх”

1 а. СИЛА ВВЕРХ = Победы над А * Вес А + Победы над В * Вес В + Победы над С * Вес С + ...

Или, в формальном виде

2 а. Fup i = Sum j (Wij * Rj).

Здесь Fup - сила, которая тянет вверх i-ю команду; Wij - победы i-ой команды над j-ой.
Ri - Вес команды i (Рейтинг Силы)
Суммирование проводится по всем j-ым командам. Естественно, если побед над какой-то командой нет, то соответствующее значение W равно нулю.


Отражая тот факт, что в результате равновесия сил команда "зафиксируется" в нашей гипотетической табели о рангах, если "СИЛА ВВЕРХ" будет уравновешена "СИЛОЙ ВНИЗ". Следовательно мы должны составить уравнение.

3 а. СИЛА ВВЕРХ = СИЛА ВНИЗ

Если мы возьмем уравнение 1 а, в котором расписана "сила вверх" то определяя ее равенство "силе вниз" мы должны взять все победы соперников над командой (в данном случае все победы над командой D)

4 а. Сила ВНИЗ =
Победы соперников над D * Вес D

Таким образом, и в левой и в правой части мы используем величины одинаковой размерности (в данном случае ПОБЕДЫ умноженные на ВЕСА.

Ну вот теперь имеем окончательный вид уравнения для сил, обеспечивающих "равновесное" положение команды в табели о рангах.

5 а. Li * Ri = Sum j (Wij * Rj).

Теперь разберем конкретный пример.

Возьмем группу C Лиги Чемпионов, где в 1998 году играл Спартак и систему уравнений 5 а, то есть рассмотрим все с точки зрения побед.
Это означает, что мы принимаем гипотезу "Во всем виноват ПРОИГРАВШИЙ.

Для Спартака имеем:(Для простоты считаем, что все игры на нейтральном поле. )

6 а. Rsp * (1 + 0 + 0.5 + 0 +  0.5 + 1 ) =
Rst * (1 + 0.5) + Rin * (0 + 0.5) + Rre * (1 + 0)

Слева - то что тянет Спартак вниз (его поражения), справа - то, что тянет вверх (его победы).
Итак Штурм тянет Спартак вверх в полторы свои силы, Интер - в полсилы, а Реал в свою полную силу.
(Весь вопрос в том, каковы эти силы. Ответ даст решение системы уравнений)

Ничьи расписываются как половинка победы и половинка поражения.
Rsp - рейтинг Спартака, Rst - Рейтиг Штурма, Rin - рейтинг Интера, Rre - рейтинг Реала

7 а. Rsp * 3 = Rst *1.5  + Rin *  0.5 + Rre *  1

Для Штурма, подставляя результаты его матчей с остальной тройкой получим:

8 а. Rst * (1+1+1+1+1+0.5) = Rsp * (0 + 0.5) + Rin * (0 + 0) + Rre * (0 + 0)

Слева - то что тянет Штурм вниз (его поражения), справа - то, что тянет вверх (его победы).

Обратите внимание, только Спартак "протянул руку помощи" Штурму (ничья в Москве). Спартак тянет Штурм вверх в полсилы. Так что в нашем случае рейтинг (сила) Штурма напрямую связана с силой Спартака

9 а. Rst * 5.5 = 0.5 * Rsp.

Итак, рейтинг (сила) Штурма составляет 1/11 от силы Спартака (это, естественно по данным этого турнира)

Для Реала, подставляя результаты его матчей с остальной тройкой, получим:

10 а. Rre * (1+1) =
Rst * (1 + 1) + Rin * (1 + 0) + Rsp * (0 + 1)

Слева - то что тянет Реал вниз (его поражения), справа - то, что тянет вверх (его победы). Штурм с удвоенной силой тянет Реал вверх. Интер и Спартак "впряглись" в колесницу   Реала в полную силу.

11 а. Rre * 2 = Rst * 2 + Rin * 1 + Rsp * 1

Для Интера, подставляя результаты его матчей с остальной тройкой получим:

12 а. Rin * (1+0.5) =
Rst * (1+1) + Rre * (1+0) + Rsp * (1+0.5)

Слева - то что тянет Интер вниз (его поражения), справа - то, что тянет вверх (его победы). Штурм с удвоенной силой тянет Интер вверх. Спартак  старается в полторы силы, а Реал - в полную силу.

13 а. Rin * 1.5Rst * 2 + Rre * 1 + Rsp * 1.5

Имеем четыре уравнения и четыре неизвестных.

Для Спартака 
   Rsp * 3 = Rst * 1.5 + Rin * 0.5 + Rre * 1

Для Штурма
     Rst * 5.5 = 0.5 * Rsp.,

Для Реала
         Rre * 2 =  Rsp * 2 + Rin * 1 + Rsp * 1,

Для Интера
       Rin * 1.5 = Rsе * 2 + Rre * 1 + Rsp * 1.5

Для того, чтобы превратить ее в линейно независимые необходимо одно (любое) вычеркнуть и добавить нормировку.

Например, положим, что сумма всех рейтингов равна числу команд, умноженному на 100.

Rsp + Rst + Rre + Rin = 400.

Или еще удобнее, для этого случая. Считаем, что сила Штурма равна ЕДИНИЦЕ.

Еще раз подчеркну, что дополнительное условие (сумма всех рейтингов, равенство единице силы одной из команд, или еще какое условие АБСОЛЮТНО НЕ ИЗМЕНЯЕТ ОЦЕНКИ СООТНОШЕНИЯ СИЛ. Мы просто привязываем точку отсчета. Например в космическом пространстве мы не имеем центра вселенной. И все расстояния измеряем либо от СЕБЯ, либо от какой-то звезды (галактики) или любого выбранного объекта.)

Итак, одно из уравнений ЛИШНЕЕ. Мы можем любое из уравнений заменить на Rst = 1. Решения всегда будут одними и теми-же. Отбросим уравнение для Интера (На его рейтинг это никак не скажется:), просто оно посложнее)

  1. Rsp * 3 = Rst * 1.5 + Rin * 0.5 + Rre * 1

  2. Rst * 5.5 = 0.5 * Rsp.

  3. Rre * 2 = Rst * 2 + Rin * 1 + Rsp * 1

  4. Rst =1.

Вот эту систему и будем решать.

Подставим из уравнения 4    Rsе = 1 и перейдем к системе из 3-х уравнений.

  1. Rsp * 3  =  1.5 + Rin * 0.5 + Rre

  2. Rsp  =  11

  3. Rre * 2  = 2  + Rin + Rsp

Далее подставим Rsp = 11, получим систему из двух уравнений

  1. 33 - 1.5 = Rin * 0.5 + Rre

  2. Rre * 2 = 13 + Rin  

Умножим первое на два (просто для удобства) и переставим свободные члены (те, что не содержат в себе рейтинги (силы) команд) вправо.

  1. Rre * 2 + Rin = 63

  2. Rre * 2 - Rin = 13

Вычтем одно из другого (Таким образом избавимся от Rre) и получим

  1. Rin * 2 = 50 Или Rin = 25

Осталось определить Rre. Возьмем уравнение 2 и подставим значение Rin = 25

Rre * 2 - 25 = 13   Или Pre  = 19.

Итак Rst = 1, Rsp = 11, Rre = 19, Rin = 25

Итак доли призового пирога установлены. Приняв долю слабейшей команды за ЕДИНИЦУ мы получим доли всех остальных в соответствии с заслугами.

Сила, которая “тянет” команду вниз, определяется ее пораженими. Наиболее простой способ определить эту силу математически – это сложить все поражения команды.
Однако, поскольку, как мы говорили выше, просто складывать нельзя, то складывать будем с “весами”
В качестве “весовых коэффициентов” возьмем некоторые,
неопределенные пока величины, которые будут зависеть от команды соперника. Итак, мы получим следующее выражение для силы,  которая “тянет” данную команду D   “вниз”

1 б. СИЛА ВНИЗ = Поражения от А * Вес А + Поражения от В * Вес В + Поражения от С * Вес С + ...

Или, в формальном виде

  2 б. Fdown i = Sum j (Lij * ARj)

Здесь Fdown - сила, которая тянет вниз i-ю команду; Lij - поражения i-ой команды от j-ой.
ARj - Вес команды i (Рейтинг Слабости)
Суммирование проводится по всем j-ым командам. Естественно, если поражений от какой-то командой нет, то соответствующее значение L равно нулю.


Отражая тот факт, что в результате равновесия сил команда "зафиксируется" в нашей гипотетической табели о рангах, если "СИЛА ВНИЗ" будет уравновешена "СИЛОЙ ВВЕРХ". Следовательно мы должны составить уравнение.

3 б. СИЛА ВНИЗ = СИЛА ВВЕРХ

Если мы возьмем уравнение 1 б, в котором расписана "сила вниз" то определяя ее равенство "силе вверх" мы должны взять все поражения соперников от команды (в данном случае все поражения от команды D)

4 б. Сила ВВЕРХ =
Поражения соперников от D * Вес D

Таким образом, и в левой и в правой части мы используем величины одинаковой размерности (в данном случае ПОРАЖЕНИЯ умноженные на ВЕСА.

Ну вот теперь имеем окончательный вид уравнения для сил, обеспечивающих "равновесное" положение команды в табели о рангах.

5 б. Wi * ARi = Sum j (Lij * ARj).

Теперь разберем конкретный пример.

Возьмем снова группу C Лиги Чемпионов, где в 1998 году играл Спартак и уравнения 5 б, то есть рассмотрим все с точки зрения поражений.
Это означает, что мы принимаем гипотезу "Во всем виноват ПОБЕДИТЕЛЬ
".

Для Спартака имеем:(Для простоты считаем, что все игры на нейтральном поле.)

6 б. ARsp * (1 + 0 + 0.5 + 1 +  0.5 + 0 ) =
ARst * ( 0 + 0.5 ) + ARin * (1+0.5) + ARre * (0 + 1)

Слева - то что тянет Спартак вверх (его победы), справа - то, что тянетего вниз (победы его соперников).
Итак Штурм тянет Спартак вниз в пол своей силы, Интер - в полторы силы, а Реал в свою полную силу.
(Весь вопрос в том, каковы эти силы. Ответ даст решение системы уравнений)

Ничьи расписываются как половинка победы и половинка поражения.
Rsp - рейтинг Спартака, Rst - Рейтиг Штурма, Rin - рейтинг Интера, Rre - рейтинг Реала

7 б. ARsp * 3 = ARst *0.5  + ARin *  1.5 + ARre *  1

Для Штурма, подставляя результаты его матчей с остальной тройкой получим:

8 б.  ARst * (0+0+0+0+0+0.5) = ARsp * (1 + 0.5) + ARin * (1 + 1) + ARre * (1 + 1)

Слева - то что тянет Штурм вверх (его победы), справа - то, что тянет вниз (его поражения).

Обратите внимание, только Спартак "протянул руку помощи" Штурму (ничья в Москве). Спартак тянет Штурм вверх в полсилы. А вот вниз тянут Штурм с удвоенной силой и Реал и Интер. Спартак тянет Штурм вниз с полуторной силой

9 б.  ARst * .5 = 1.5 * ARsp + ARin * 2 + ARre * 2


Для Реала, подставляя результаты его матчей с остальной тройкой, получим:

10 б. ARre * (1 + 1 + 1 + 1 ) =
ARst * (0 + 0) + ARin * (1 + 0) + ARsp * (0 + 1)

Слева - то что тянет Реал ввверх (его победы), справа - то, что тянет вниз (его поражения). Интер и Спартак тянут Реал вниз в полную силу. Штурм вообще не доставляет хлопот Реалу.

11 б. ARre * 4 = ARin * 1 + ARsp * 1

Для Интера, подставляя результаты его матчей с остальной тройкой получим:

12 б. ARin * (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 0.5) =
ARst * (0 + 0) +A Rre * (1+0) + ARsp * (0+0.5)

Слева - то что тянет Интер вверх (его победы), справа - то, что тянет вниз (его поражения). Штурм не доставляет хлопот Интеру.  Спартак  старается утопить Интер в полсилы, а Реал - в полную силу.

13 б. ARin * 4.5 = ARst * 0 + ARre * 1 + ARsp * 0.5

Имеем четыре уравнения и четыре неизвестных.

Для Спартака 
   ARsp * 3 = ARst * 0.5+ARin*1.5+Rre*1

Для Штурма 
    ARst*.5 = 1.5*ARsp+ARin*2+ARre*2

Для Реала
         ARre * 4 =  ARin * 1 + ARsp * 1

Для Интера 
      ARin * 4.5 = ARre * 1 + ARsp * 0.5

Для того, чтобы превратить ее в линейно независимые необходимо одно (любое) вычеркнуть и добавить нормировку.

Например, положим, что сумма всех рейтингов равна числу команд, умноженному на 100.

ARsp + ARst + ARre + ARin = 400.

Или еще удобнее, для этого случая. Считаем, что слабость Реала   равна ЕДИНИЦЕ.

Еще раз подчеркну, что дополнительное условие (сумма всех рейтингов, равенство единице силы одной из команд, или еще какое условие АБСОЛЮТНО НЕ ИЗМЕНЯЕТ ОЦЕНКИ СООТНОШЕНИЯ СИЛ. Мы просто привязываем точку отсчета. Например в космическом пространстве мы не имеем центра вселенной. И все расстояния измеряем либо от СЕБЯ, либо от какой-то звезды (галактики) или любого выбранного объекта.)

Итак, одно из уравнений ЛИШНЕЕ. Мы можем любое из уравнений заменить на Rre = 1. Решения всегда будут одними и теми-же. Отбросим уравнение для Штурма (На его рейтинг это никак не скажется:), просто оно посложнее)

  1. ARre   =  1

  2. ARst * .5 = 1.5 * ARsp + ARin * 2 + ARre * 2

  3. ARre * 4 =  ARin * 1 + ARsp * 1

  4. ARin * 4.5 = ARre * 1 + ARsp * 0.5

Вот эту систему и будем решать.

Подставим из уравнения 1 ARrе = 1 и перейдем к системе из 3-х уравнений. Второе и третье умножаем на 2

  1. ARst   =  3 * ARsp  + ARin * 4 + 4

  2. ARin  =  4 - ARsp

  3. ARin * 9 = 2 + ARsp

Сложим второе и третье уравнения.

  1. 10 *  ARin  = 6

  2. Или ARin = 0.6

Из второго уравнения получим величину слабости Спартака подставив значение слабости Интера

  1. 0.6  =  4 - Rsp 

  2. Rsp  = 3.4

Остается определить слабость Штурма.

  1. Rst * .5 = 1.5 * Rsp + Rin * 2 + Rre * 2

Умножим уравнение на 2 и подставим значения

  1. Rst  = 3 * 3.4 + 0.6 * 4 + 1 * 4

  2. Rst  = 16.6

Итак Rst = 16.6, Rsp = 3.4, Rre = 1, Rin = 0.6

Вот теперь все правильно, кажется. Итак доли призового пирога установлены. Как видно расположение команд такое же как и при ранжировании по силе. Однако, это не всегда так.

26.03.2004 10:28

Haзag
Bвepx
Cлegyющuй

Самые неприступные крепости в головах наших ...

Haзag Bвepx Cлegyющuй

 Copyright Eugene Potemkin 1985 - 2004
For problems or questions regarding this web contact 271314@mail.ru.
Last updated: 03/25/04.

Hosted by uCoz