Е-Рейтинг. Формула 1

Сила, которая “тянет” команду вверх, определяется ее победами. Наиболее простой способ определить эту силу математически – это сложить все  победы команды.
Однако, поскольку, как мы говорили выше,   просто   складывать   нельзя, то складывать будем с “весами”.
В качестве “весовых коэффициентов” возьмем некоторые, неопределенные пока величины, которые будут зависеть от команды соперника. Итак, мы получим следующее выражение для силы,  которая “тянет” данную команду D   “вверх”

1 а. СИЛА ВВЕРХ = Победы над А * Вес А + Победы над В * Вес В + Победы над С * Вес С + ...

2 а. Fup i = Sum j (Wij * Rj).

3 а. СИЛА ВВЕРХ = СИЛА ВНИЗ

Если мы возьмем уравнение 1 а, в котором расписана "сила вверх" то определяя ее равенство "силе вниз" мы должны взять все победы соперников над командой (в данном случае все победы над командой D)

4 а. Сила ВНИЗ =
Победы соперников над D * Вес D

Таким образом, и в левой и в правой части мы используем величины одинаковой размерности (в данном случае ПОБЕДЫ умноженные на ВЕСА.

Ну вот теперь имеем окончательный вид уравнения для сил, обеспечивающих "равновесное" положение команды в табели о рангах.

5 а. Li * Ri = Sum j (Wij * Rj).

Теперь разберем конкретный пример.

Возьмем группу C Лиги Чемпионов, где в 1998 году играл Спартак и систему уравнений 5 а, то есть рассмотрим все с точки зрения побед.
Это означает, что мы принимаем гипотезу "Во всем виноват ПРОИГРАВШИЙ.

Для Спартака имеем:(Для простоты считаем, что все игры на нейтральном поле. )

6 а. Rsp * (1 + 0 + 0.5 + 0 +  0.5 + 1 ) =
Rst * (1 + 0.5) + Rin * (0 + 0.5) + Rre * (1 + 0)

Слева - то что тянет Спартак вниз (его поражения), справа - то, что тянет вверх (его победы).
Итак Штурм тянет Спартак вверх в полторы свои силы, Интер - в полсилы, а Реал в свою полную силу.
(Весь вопрос в том, каковы эти силы. Ответ даст решение системы уравнений)

Ничьи расписываются как половинка победы и половинка поражения.
Rsp - рейтинг Спартака, Rst - Рейтиг Штурма, Rin - рейтинг Интера, Rre - рейтинг Реала

7 а. Rsp * 3 = Rst *1.5  + Rin *  0.5 + Rre *  1

Для Штурма, подставляя результаты его матчей с остальной тройкой получим:

8 а. Rst * (1+1+1+1+1+0.5) = Rsp * (0 + 0.5) + Rin * (0 + 0) + Rre * (0 + 0)

Слева - то что тянет Штурм вниз (его поражения), справа - то, что тянет вверх (его победы).

Обратите внимание, только Спартак "протянул руку помощи" Штурму (ничья в Москве). Спартак тянет Штурм вверх в полсилы. Так что в нашем случае рейтинг (сила) Штурма напрямую связана с силой Спартака

9 а. Rst * 5.5 = 0.5 * Rsp.

Итак, рейтинг (сила) Штурма составляет 1/11 от силы Спартака (это, естественно по данным этого турнира)

Для Реала, подставляя результаты его матчей с остальной тройкой, получим:

10 а. Rre * (1+1) =
Rst * (1 + 1) + Rin * (1 + 0) + Rsp * (0 + 1)

Слева - то что тянет Реал вниз (его поражения), справа - то, что тянет вверх (его победы). Штурм с удвоенной силой тянет Реал вверх. Интер и Спартак "впряглись" в колесницу   Реала в полную силу.

11 а. Rre * 2 = Rst * 2 + Rin * 1 + Rsp * 1

Для Интера, подставляя результаты его матчей с остальной тройкой получим:

12 а. Rin * (1+0.5) =
Rst * (1+1) + Rre * (1+0) + Rsp * (1+0.5)

Слева - то что тянет Интер вниз (его поражения), справа - то, что тянет вверх (его победы). Штурм с удвоенной силой тянет Интер вверх. Спартак  старается в полторы силы, а Реал - в полную силу.

13 а. Rin * 1.5 =  Rst * 2 + Rre * 1 + Rsp * 1.5

Имеем четыре уравнения и четыре неизвестных.

Для Спартака 
   Rsp * 3 = Rst * 1.5 + Rin * 0.5 + Rre * 1

Для Штурма
     Rst * 5.5 = 0.5 * Rsp.,

Для Реала
         Rre * 2 =  Rsp * 2 + Rin * 1 + Rsp * 1,

Для Интера
       Rin * 1.5 = Rsе * 2 + Rre * 1 + Rsp * 1.5

Для того, чтобы превратить ее в линейно независимые необходимо одно (любое) вычеркнуть и добавить нормировку.

Например, положим, что сумма всех рейтингов равна числу команд, умноженному на 100.

Rsp + Rst + Rre + Rin = 400.

Или еще удобнее, для этого случая. Считаем, что сила Штурма равна ЕДИНИЦЕ.

Еще раз подчеркну, что дополнительное условие (сумма всех рейтингов, равенство единице силы одной из команд, или еще какое условие АБСОЛЮТНО НЕ ИЗМЕНЯЕТ ОЦЕНКИ СООТНОШЕНИЯ СИЛ. Мы просто привязываем точку отсчета. Например в космическом пространстве мы не имеем центра вселенной. И все расстояния измеряем либо от СЕБЯ, либо от какой-то звезды (галактики) или любого выбранного объекта.)

Итак, одно из уравнений ЛИШНЕЕ. Мы можем любое из уравнений заменить на Rst = 1. Решения всегда будут одними и теми-же. Отбросим уравнение для Интера (На его рейтинг это никак не скажется:), просто оно посложнее)

1. Rsp * 3 = Rst * 1.5 + Rin * 0.5 + Rre * 1

2. Rst * 5.5 = 0.5 * Rsp.

3. Rre * 2 = Rst * 2 + Rin * 1 + Rsp * 1

4. Rst =1.

Вот эту систему и будем решать.

Подставим из уравнения 4    Rsе = 1 и перейдем к системе из 3-х уравнений.

1. Rsp * 3  =  1.5 + Rin * 0.5 + Rre

2. Rsp  =  11

3. Rre * 2  = 2  + Rin + Rsp

Далее подставим Rsp = 11, получим систему из двух уравнений

1. 33 - 1.5 = Rin * 0.5 + Rre

2. Rre * 2 = 13 + Rin  

Умножим первое на два (просто для удобства) и переставим свободные члены (те, что не содержат в себе рейтинги (силы) команд) вправо.

1. Rre * 2 + Rin = 63

2. Rre * 2 - Rin = 13

Вычтем одно из другого (Таким образом избавимся от Rre) и получим

1. Rin * 2 = 50 Или Rin = 25

Осталось определить Rre. Возьмем уравнение 2 и подставим значение Rin = 25

Rre * 2 - 25 = 13   Или Pre  = 19.

Итак Rst = 1, Rsp = 11, Rre = 19, Rin = 25

Итак доли призового пирога установлены. Приняв долю слабейшей команды за ЕДИНИЦУ мы получим доли всех остальных в соответствии с заслугами.

Сила, которая “тянет” команду вниз, определяется ее пораженими. Наиболее простой способ определить эту силу математически – это сложить все поражения команды.
Однако, поскольку, как мы говорили выше, просто складывать нельзя, то складывать будем с “весами”
В качестве “весовых коэффициентов” возьмем некоторые, неопределенные пока величины, которые будут зависеть от команды соперника. Итак, мы получим следующее выражение для силы,  которая “тянет” данную команду D   “вниз”

1 б. СИЛА ВНИЗ = Поражения от А * Вес А + Поражения от В * Вес В + Поражения от С * Вес С + ...

  2 б. Fdown i = Sum j (Lij * ARj)

3 б. СИЛА ВНИЗ = СИЛА ВВЕРХ

Если мы возьмем уравнение 1 б, в котором расписана "сила вниз" то определяя ее равенство "силе вверх" мы должны взять все поражения соперников от команды (в данном случае все поражения от команды D)

4 б. Сила ВВЕРХ =
Поражения соперников от D * Вес D

Таким образом, и в левой и в правой части мы используем величины одинаковой размерности (в данном случае ПОРАЖЕНИЯ умноженные на ВЕСА.

Ну вот теперь имеем окончательный вид уравнения для сил, обеспечивающих "равновесное" положение команды в табели о рангах.

5 б. Wi * ARi = Sum j (Lij * ARj).

Теперь разберем конкретный пример.

Возьмем снова группу C Лиги Чемпионов, где в 1998 году играл Спартак и уравнения 5 б, то есть рассмотрим все с точки зрения поражений.
Это означает, что мы принимаем гипотезу "Во всем виноват ПОБЕДИТЕЛЬ".

Для Спартака имеем:(Для простоты считаем, что все игры на нейтральном поле.)

6 б. ARsp * (1 + 0 + 0.5 + 1 +  0.5 + 0 ) =
ARst * ( 0 + 0.5 ) + ARin * (1+0.5) + ARre * (0 + 1)

Слева - то что тянет Спартак вверх (его победы), справа - то, что тянетего вниз (победы его соперников).
Итак Штурм тянет Спартак вниз в пол своей силы, Интер - в полторы силы, а Реал в свою полную силу.
(Весь вопрос в том, каковы эти силы. Ответ даст решение системы уравнений)

Ничьи расписываются как половинка победы и половинка поражения.
Rsp - рейтинг Спартака, Rst - Рейтиг Штурма, Rin - рейтинг Интера, Rre - рейтинг Реала

7 б. ARsp * 3 = ARst *0.5  + ARin *  1.5 + ARre *  1

Для Штурма, подставляя результаты его матчей с остальной тройкой получим:

8 б.  ARst * (0+0+0+0+0+0.5) = ARsp * (1 + 0.5) + ARin * (1 + 1) + ARre * (1 + 1)

Слева - то что тянет Штурм вверх (его победы), справа - то, что тянет вниз (его поражения).

Обратите внимание, только Спартак "протянул руку помощи" Штурму (ничья в Москве). Спартак тянет Штурм вверх в полсилы. А вот вниз тянут Штурм с удвоенной силой и Реал и Интер. Спартак тянет Штурм вниз с полуторной силой

9 б.  ARst * .5 = 1.5 * ARsp + ARin * 2 + ARre * 2

Для Реала, подставляя результаты его матчей с остальной тройкой, получим:

10 б. ARre * (1 + 1 + 1 + 1 ) =
ARst * (0 + 0) + ARin * (1 + 0) + ARsp * (0 + 1)

Слева - то что тянет Реал ввверх (его победы), справа - то, что тянет вниз (его поражения). Интер и Спартак тянут Реал вниз в полную силу. Штурм вообще не доставляет хлопот Реалу.

11 б. ARre * 4 = ARin * 1 + ARsp * 1

Для Интера, подставляя результаты его матчей с остальной тройкой получим:

12 б. ARin * (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 0.5) =
ARst * (0 + 0) +A Rre * (1+0) + ARsp * (0+0.5)

Слева - то что тянет Интер вверх (его победы), справа - то, что тянет вниз (его поражения). Штурм не доставляет хлопот Интеру.  Спартак  старается утопить Интер в полсилы, а Реал - в полную силу.

13 б. ARin * 4.5 = ARst * 0 + ARre * 1 + ARsp * 0.5

Имеем четыре уравнения и четыре неизвестных.

Для Спартака 
   ARsp * 3 = ARst * 0.5+ARin*1.5+Rre*1

Для Штурма 
    ARst*.5 = 1.5*ARsp+ARin*2+ARre*2

Для Реала
         ARre * 4 =  ARin * 1 + ARsp * 1

Для Интера 
      ARin * 4.5 = ARre * 1 + ARsp * 0.5

Для того, чтобы превратить ее в линейно независимые необходимо одно (любое) вычеркнуть и добавить нормировку.

Например, положим, что сумма всех рейтингов равна числу команд, умноженному на 100.

ARsp + ARst + ARre + ARin = 400.

Или еще удобнее, для этого случая. Считаем, что слабость Реала   равна ЕДИНИЦЕ.

Еще раз подчеркну, что дополнительное условие (сумма всех рейтингов, равенство единице силы одной из команд, или еще какое условие АБСОЛЮТНО НЕ ИЗМЕНЯЕТ ОЦЕНКИ СООТНОШЕНИЯ СИЛ. Мы просто привязываем точку отсчета. Например в космическом пространстве мы не имеем центра вселенной. И все расстояния измеряем либо от СЕБЯ, либо от какой-то звезды (галактики) или любого выбранного объекта.)

Итак, одно из уравнений ЛИШНЕЕ. Мы можем любое из уравнений заменить на Rre = 1. Решения всегда будут одними и теми-же. Отбросим уравнение для Штурма (На его рейтинг это никак не скажется:), просто оно посложнее)

1. ARre   =  1

2. ARst * .5 = 1.5 * ARsp + ARin * 2 + ARre * 2

3. ARre * 4 =  ARin * 1 + ARsp * 1

4. ARin * 4.5 = ARre * 1 + ARsp * 0.5

Вот эту систему и будем решать.

Подставим из уравнения 1 ARrе = 1 и перейдем к системе из 3-х уравнений. Второе и третье умножаем на 2

1. ARst   =  3 * ARsp  + ARin * 4 + 4

2. ARin  =  4 - ARsp

3. ARin * 9 = 2 + ARsp

Сложим второе и третье уравнения.

1. 10 *  ARin  = 6

2. Или ARin = 0.6

Из второго уравнения получим величину слабости Спартака подставив значение слабости Интера

1. 0.6  =  4 - Rsp 

2. Rsp  = 3.4

Остается определить слабость Штурма.

1. Rst * .5 = 1.5 * Rsp + Rin * 2 + Rre * 2

Умножим уравнение на 2 и подставим значения

1. Rst  = 3 * 3.4 + 0.6 * 4 + 1 * 4

2. Rst  = 16.6

Итак Rst = 16.6, Rsp = 3.4, Rre = 1, Rin = 0.6

Вот теперь все правильно, кажется. Итак доли призового пирога установлены. Как видно расположение команд такое же как и при ранжировании по силе. Однако, это не всегда так.